短い信号の離散時間フーリエ変換 (DTFT)

インデックス範囲 \(\le n \le \)

\(x[n]\)
\(\|X(e^{j\omega})\|\)
\(\angle X(e^{j\omega})\)
\(\omega\)		\(\pi\)

非零の値が数点～20点程度の短い信号の離散時間フーリエ変換 (DTFT) です．振幅と位相を計算したグラフと，カーソルが示す角周波数における値の複素平面上の位置を表示しています．信号をインパルス応答と見なせば，FIRシステムの周波数応答になります．
\(\displaystyle\qquad X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n] e^{-j\omega n}\)
指定したインデックス番号の範囲で，信号 \(x[n]\) の値を指定できます．これ以外の範囲では \(x[n]=0\) とします．
左右の矢印を押すと，信号が1サンプルずつシフトします．
絶対値，位相のグラフの下のスライダーで，正規化角周波数のカーソル位置を指定します．その角周波数における \(X(e^{j\omega})\) の値が，右側の複素平面上に表示されます．

離散時間実信号のDTFTにおける，以下のような性質を確認できます．

振幅スペクトルは \(\omega=0\) を中心に偶対称，位相スペクトルは奇対称．
振幅スペクトルがゼロに落ちる角周波数（重根を除く）で，位相が反転する（\(\pi\) ずれる）．
時間シフトを行うと，振幅スペクトルは変化せず，位相スペクトルの傾きが変化する．
連続した範囲で値をすべて1にすると，矩形窓のDTFTになる．範囲の長さにより，\(\sin(\omega N/2) / \sin(\omega/2)\) の \(N\) の値が変わり，振幅スペクトルがゼロに落ちる回数が変わる．
信号の値を，非零区間の中央に関して対称（偶対称もしくは奇対称）にすると，直線位相になる．

なお，計算は正規化角周波数で \(-\pi \le \omega \le \pi\) の範囲を800点に分割し，DTFTの定義式通り実部と虚部を算出することで行っています．値の絶対値がゼロに近いときは，atan2 で算出される位相の値に誤差が出る可能性があります．

更新履歴

2020/05/30 初版
2020/09/22 html/JavaScript分離
2020/09/23 インデックス範囲を可変に
2021/05/05 カーソル角周波数におけるDTFT値の複素平面表示，信号更新処理と表示更新処理を分離
2023/03/23 URL変更