伝達関数の零点，極と周波数特性

2次ARMAシステム
\(\displaystyle H(z)=\frac{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}}{1 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}} = \frac{z^2 + a_1 z + a_2}{z^2 + b_1 z + b_2} = \frac{(z - z_{z1})(z - z_{z2})}{(z - z_{p1})(z - z_{p2})}\)

零点 \(z_z\) 複素根 実根
0.00 \(a_1 =\) 0.00
0.00 \(a_2 =\) 0.00
極　 \(z_p\) 複素根 実根
0.00 \(b_1 =\) 0.00
0.00 \(b_2 =\) 0.00
カーソル点表示
極・零点とカーソル点間の線分表示
\(\omega =\) 0.00 \(\pi\)
\(|H(e^{j\omega})|\)
\(|e^{j\omega} - z_{z1}|\) \(=\) 0.00
\(|e^{j\omega} - z_{z2}|\) \(=\) 0.00
\(|e^{j\omega} - z_{p1}|\) \(=\) 0.00
\(|e^{j\omega} - z_{p2}|\) \(=\) 0.00
\(|H(e^{j\omega})|\) \(=\) 0.00
\(\angle H(e^{j\omega})\)
\(\angle(e^{j\omega} - z_{z1})\) \(=\) 0.00 \(\pi\)
\(\angle(e^{j\omega} - z_{z2})\) \(=\) 0.00 \(\pi\)
\(\angle(e^{j\omega} - z_{p1})\) \(=\) 0.00 \(\pi\)
\(\angle(e^{j\omega} - z_{p2})\) \(=\) 0.00 \(\pi\)
\(\angle H(e^{j\omega})\) \(=\) 0.00 \(\pi\)

伝達関数の分子，分母ともに \(z^{-1}\) の2次式である，2次ARMAシステムの周波数特性です．
零点と極の指定は，複素根と実根を切り替えできます．複素根の場合は絶対値と偏角を指定し，実根の場合はそれぞれの値を指定します．

零点 \(z_z\)，極 \(z_p\) を変更すると，周波数特性の形状が変化します．実係数なので，零点，極は複素根の場合それぞれ複素共役です．
カーソルの正規化角周波数 \(\omega\) をスライダで動かすと，z平面の単位円上の点（ここではカーソル点と呼ぶことにします）の位置，零点および極とカーソル点の距離，各零点・極からカーソル点へ向かう方向の偏角の値を更新します．

振幅スペクトルは，零点からカーソル点までの距離の積を極からカーソル点までの距離の積で割った値であり，位相スペクトルは，零点からカーソル点への方向の偏角の和から，極からカーソル点への方向の偏角の和を引いたものであることが確認できます．零点，極からカーソル点への方向の偏角は，ぞれぞれの零点，極から延びる短い右水平線（実軸正方向）と，カーソル点へ向かう直線とのなす角です．

振幅スペクトル：
\(\displaystyle |H(e^{j\omega})| = \frac{|e^{j\omega}-z_{z1}||e^{j\omega}-z_{z2}|}{|e^{j\omega}-z_{p1}||e^{j\omega}-z_{p2}|}\)
位相スペクトル：
\(\displaystyle \angle(H(e^{j\omega})) = \angle(e^{j\omega}-z_{z1}) + \angle(e^{j\omega}-z_{z2}) - \angle(e^{j\omega}-z_{p1}) - \angle(e^{j\omega}-z_{p2})\)

更新履歴

作成：2020年7月19日