\(\displaystyle x(t) = \left\{
\begin{array}{cl}
\displaystyle 1, & |t| \le rT/2 \\
0, & |t| > rT/2
\end{array}
\right.
\)
\(\tilde{x}_T(t)\) は \(x(t)\) を周期 \(T\) で周期化した周期信号で，
\(r\) はDuty比です．
| \(\tilde{x}_T(t)\) | |
| \(\displaystyle\frac{a_k}{a_0/2}\) | |
| \(\displaystyle\left|\frac{a_k}{a_1}\right|\) | |
| Duty比 \(r\) |
一般的なDuty比を持つ矩形波のフーリエ級数です．このページでは，Highの値が1，Lowの値が0で，時間的には偶対称の矩形波を扱います．
上段のグラフは矩形波の波形です．\(t=0\) を中心に，プラスマイナス2周期分の波形を表示しています．Duty比のスライダーを操作すると，1周期のうち「1」になっている時間の比率が変化します．このケースでは信号波形が偶関数なのでフーリエ級数係数のうち sin の係数 \(b_k\) はゼロになり，cos の係数 \(a_k\) のみです．複素フーリエ級数 \(c_k\) はこの場合実数で \(c_k = a_k/2\) となっています．Duty比が1/2, つまり上下対称な矩形波の場合，第 \(k\) 次高調波（\(k\)次倍音）のうち偶数次倍音はゼロとなり奇数次倍音の振幅は基本周波数成分の \(1/k\) 倍となることはよく知られています．しかし，この性質は矩形波のDuty比が1/2以外の場合，必ずしも成立しません．
実は，周期的矩形波のフーリエ級数係数は，単発矩形波をフーリエ変換したスペクトル，つまりsinc関数を周波数領域でサンプリングしたものになっています．この様子を示したのが中段のグラフで，曲線は単発矩形波のフーリエ変換 \(X(\Omega)\) を \(X(0)\) で割った値，縦線はフーリエ級数係数の直流分に対する比 \(a_k/(a_0/2)\) を表します．単発矩形波のスペクトルはそのパルス幅（＝周期的矩形波におけるDuty比）により周波数軸方向に伸び縮みします．一方，周期が一定の場合周波数領域でのサンプリングレートは一定なので，サンプリングされる値はDuty比に応じて変化します．下段のグラフは，基本周波数成分に対する高調波成分の振幅比率 \(|a_k/a_1|\) を示します．
ディジタル信号処理をひととおり学習した人は，連続時間信号のサンプリングにより，周波数スペクトルが複製（周期化）されることを学んでいると思います．この現象は，時間と周波数の関係を逆にした場合も成立します．それがこのケースであり，単発矩形波のスペクトルであるsinc関数を周波数領域でサンプリングすると，時間領域では周期化されて周期信号になることを意味します．
| 実フーリエ級数 | |
| \(\displaystyle \tilde{x}_T(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty \left( a_k \cos\frac{2\pi kt}{T} + b_k \sin\frac{2\pi kt}{T} \right) \) |
\(\displaystyle
a_k = \frac{2}{T} \int_0^T \tilde{x}_T(t) \cos\frac{2\pi kt}{T} dt
\) \(\displaystyle b_k = \frac{2}{T} \int_0^T \tilde{x}_T(t) \sin\frac{2\pi kt}{T} dt \) |
| 複素フーリエ級数 | |
| \(\displaystyle \tilde{x}_T(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty c_k e^{j2\pi kt/T} \) | \(\displaystyle c_k = \frac{1}{T} \int_0^T \tilde{x}_T(t) e^{-j2\pi kt/T} dt \) |
| フーリエ変換 | |
| \(\displaystyle x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty X(\Omega) e^{j\Omega t} d\Omega \) | \(\displaystyle X(\Omega) = \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-j\Omega t} dt \) |
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