| \(\tilde{x}_T(t)\) | |
| \(\displaystyle\frac{c_k}{c_0}\) | |
| 周期 \(T\) |
フーリエ級数における周期を大きくしていくとフーリエ変換に近づいていく様子を，矩形波の例で説明します．
幅が \(w\) である単発のパルス（矩形）信号
\(\displaystyle\qquad
x(t) = \left\{
\begin{array}{cl}
\displaystyle 1, & |t| \le w/2 \\
0, & |t| > w/2
\end{array}
\right.
\)
に対し，
\(\tilde{x}_T(t)\) は \(x(t)\) の \(-T/2 \le t \le T/2\) の範囲を周期化した，周期 \(T\) の周期信号とします．
このページでは \(w=1/2\)（固定）とし，スライダーで指定した周期 \(T\) の場合のフーリエ級数係数の値を縦棒で表示しています．縦軸の値は，第 \(k\) 次のフーリエ級数係数 \(c_k\) を直流分 \(c_0\) で割った値です．
このとき，複素フーリエ級数係数 \(c_k\) の値（この例では偶関数なので実数）は同じ幅の単発矩形波のフーリエ変換であるsinc関数を周波数領域で標本化した値になっています．この周波数領域での標本化の間隔は周期信号の基本周波数\(1/T\) なので，周期 \(T\) を大きくしていくと周波数領域における標本化周波数間隔は周期に反比例して狭くなっていき，単発矩形波のフーリエ変換に近づいていく様子が確認されます．\(T\to\infty\) の極限がフーリエ変換になります．
逆に，周期的矩形波のフーリエ級数は単発矩形波のフーリエ変換を周波数領域で標本化したものです．多くのディジタル信号処理の授業では，連続時間信号を標本化して離散時間信号とする際に周波数領域でサンプリング周波数の間隔でにスペクトルの複製が行われると説明されますが，この関係は時間と周波数の役割を反転しても成立します．すなわち，周波数領域でスペクトルを標本化する操作は，時間領域においては信号の複製（＝周期化）に対応します．
| 定義 | このページの信号の場合 | |
| フーリエ級数 | \(\displaystyle c_k = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \tilde{x}_T(t) e^{-j2\pi kt/T} dt \) | \(\displaystyle c_k = \frac{1}{T} \int_{-w/2}^{w/2} e^{-j2\pi kt/T} dt = \frac{1}{T} \int_{-1/4}^{1/4} e^{-j2\pi kt/T} dt = \frac{1}{\pi k} \sin\left(\frac{\pi k}{2T}\right) \) |
| フーリエ変換 | \(\displaystyle X(\Omega) = \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-j\Omega t} dt \) | \(\displaystyle X(\Omega) = \int_{-w/2}^{w/2} e^{-j\Omega t} dt = \int_{-1/4}^{1/4} e^{-j\Omega t} dt = \frac{\sin(\Omega/4)}{\Omega/2} \) |
周期的矩形波の複素フーリエ級数係数 \(c_k\) は，定数倍 (\(1/T\)) を除き，単発矩形波のフーリエ変換 \(X(\Omega)\) の \(\Omega=2\pi k/T\) における値になっています．
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